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Calcolo dell'efficacia di schermatura di uno schermo ideale

Finalità

Il dimensionamento di una schermatura è un processo laborioso, che prevede più fasi e inizia spesso dalla scelta della lastra di materiale con cui operare. Questa applicazione consente di valutare (e quindi dimensionare) l'efficacia schermante di una lastra tenendo conto dei seguenti fattori:

  1. la frequenza del campo;
  2. la natura della sorgente (se di campo elettrico o di campo magnetico);
  3. la distanza tra la sorgente e la lastra (e quindi la condizione se questa viene investita da un'onda piana o è invece esposta a un campo reattivo);
  4. le caratteristiche fisiche della lastra e del materiale che la compone (spessore, conducibilità elettrica e permeabilità magnetica).

L'applicazione fa uso di un modello di calcolo ben attestato in letteratura e riepilogato nel seguito, nel quale la lastra è assimilata a uno schermo ideale (cioè piano, infinitamente esteso, omogeneo e di spessore costante). In questo modello, l'efficacia schermante viene espressa come somma di quattro termini: la riflessione sulla prima e sulla seconda superficie di discontinuità della lastra, l'assorbimento all'interno di quest'ultima e l'effetto delle riflessioni multiple (cioè i "rimbalzi" tra le due superfici).

Efficacia schermante

L'efficacia schermante (SE, Shielding Effectiveness) esprime quantitativamente l'abilità di uno schermo a ridurre l'intensità del segnale elettromagnetico in una determinata regione.

L'efficacia schermante nei confronti del campo elettrico è definita da:

$SE_{dB}_ = 20log{_10_}({E_1_}/{E_2_})$

ove:

  • E1 esprime l'ampiezza del campo elettrico in un punto della regione di interesse prima del posizionamento dello schermo;
  • E2 esprime l'ampiezza del campo elettrico nello stesso punto, dopo il posizionamento dello schermo.

Analogamente, si definisce l'efficacia schermante nei confronti del campo magnetico:

$SE_{dB}_ = 20log{_10_}({H_1_}/{H_2_})$

Campo elettromagnetico in funzione della distanza dalla sorgente

  • Zona dei campi reattivi (o zona di induzione): in prossimità della sorgente campo elettrico e magnetico devono essere determinati indipendentemente e l'accoppiamento con gli oggetti materiali va valutato separatamente. Il rapporto tra le ampiezze di campo elettrico e campo magnetico (impedenza di campo) dipende dalle caratteristiche tecniche della sorgente.
  • Zona dei campi radiativi: per distanze dalla sorgente superiori alla lunghezza d'onda il campo ha perso i legami diretti con la sorgente, le componenti elettrica e magnetica sono legate tra di loro. Diventano significativi i campi di origine radiativa (determinati dalla mutua generazione tra campo elettrico e magnetico): si forma il campo elettromagnetico, di cui l'onda elettromagnetica è una forma di propagazione. L'impedenza di campo dipende unicamente dalle caratteristiche in cui il mezzo si propaga:
$ζ={E}/{H}=√{µ/ε}$

Nel vuoto:

$ζ_0_=√{µ_0_/ε_0_}$

ove:

  • ε0: costante dielettrica (8,854 pF/m);
  • μ0: permeabilità magnetica assoluta (0,4π μH/m).

Lo schermo ideale

Per schermo ideale si intende una lastra piana omogenea indefinita e di spessore uniforme.

Schermo ideale

L'onda viene in parte riflessa, in parte trasmessa. La perdita di potenza associata alla prima riflessione è indicata con RdB(1) (≥ 0).

L'onda trasmessa nel materiale schermante subisce un'attenuazione dovuta alla dissipazione di energia per effetto Joule, AdB (≥ 0).

Sulla seconda interfaccia l'onda subisce una seconda riflessione e una conseguente attenuazione RdB(2) (≥ 0).

Contributo all'efficacia schermante dovuto alle riflessioni multiple: BdB (≤ 0).

L'efficacia schermante dipende dal contributo di questi 4 fenomeni:

SEdB = RdB(1) + AdB + RdB(2) + BdB

Dalla continuità delle componenti tangenziali dei campi si ha che:

$E_i_ + E_r_ = E_t_$
$H_i_ + H_r_ = H_t_$

e dalla definizione di impedenza del campo:

${E_i_/H_i_} = ζ_1_$
${E_r_/H_r_} = -ζ_1_$
${E_t_/H_t_} = ζ_2_$

NEll'ipotesi che l'impedenza d'onda nel primo materiale sia la stessa da entrambe le parti dello schermo e che le riflessioni su entrambe le superfici siano descrivibili come transizione tra due semispazi omogenei indefiniti, per il campo elettrico sulla prima interfaccia si trova:

$R_{dB}_^(1) = 20log{_10_}({E_i_}/{E_t_}) = 20log{_10_}({{ζ_1_+ζ_2_}/{2ζ_2_}})$

Analogamente sulla seconda interfaccia:

$R_{dB}_^(2) = 20log{_10_}({{ζ_1_+ζ_2_}/{2ζ_1_}})$

Per il campo magnetico sulla prima interfaccia:

$R_{dB}_^(1) = 20log{_10_}({H_i_}/{H_t_}) = 20log{_10_}({{ζ_1_+ζ_2_}/{2ζ_1_}})$

Analogamente sulla seconda interfaccia:

$R_{dB}_^(2) = 20log{_10_}({{ζ_1_+ζ_2_}/{2ζ_2_}})$

Si ricava:

$R_{dB}_ = R_{dB}_^(1) + R_{dB}_^(2) = 20log{_10_}[{(ζ_1_+ζ_2_)^2/{4{ζ_1_}{ζ_2_}}}]$

e risulta formalmente uguale per campo elettrico e campo magnetico.

Determinazione di ζ1

A seconda che si tratti di sorgenti di campo elettrico o di campo magnetico, l'impedenza ha un andamento diverso:

Distanza dalla sorgente r Sorgenti di campo elettrico
$r ≥ λ/{2π}$ $ζ_1_ ≃ ζ_0_ ≡ √{µ_0_/ε_0_}$
$λ/{2π}⋅{ζ_0_}/{ζ_S_} ≤ r ≤ λ/{2π}$ $ζ_1_ ≃ {λ/{2πr}}ζ_0_$
$r ≤ λ/{2π}⋅{ζ_0_}/{ζ_S_}$ $ζ_1_ ≃ ζ_S_$
Impedenza d'onda in aria o nel vuoto, in funzione della distanza da una sorgente di tipo elettrico (impedenza interna ζS > ζ0)
Distanza dalla sorgente r Sorgenti di campo magnetico
$r ≥ λ/{2π}$ $ζ_1_ ≃ ζ_0_ ≡ √{µ_0_/ε_0_}$
$λ/{2π}⋅{ζ_S_}/{ζ_0_} ≤ r ≤ λ/{2π}$ $ζ_1_ ≃ {{2πr}/λ}ζ_0_$
$r ≤ λ/{2π}⋅{ζ_S_}/{ζ_0_}$ $ζ_1_ ≃ ζ_S_$
Impedenza d'onda in aria o nel vuoto, in funzione della distanza da una sorgente di tipo magnetico (impedenza interna ζS < ζ0)
Sorgente di campo elettrico Sorgente di campo magnetico

Per un dipolo elettrico elementare (costituito da un conduttore rettilineo, sottile e corto se confrontato con $λ$, alimentato con una distribuzione di corrente uniforme) dalla soluzione delle equazioni di Maxwell nel dominio della frequenza si ottengono le equazioni per i campi:

$E_θ_ = {{{ζ_0_}IDπ}/λ^2} \senθ[-(λ/{2πr})^3-j(λ/{2πr})^2+(λ/{2πr})]e^{-jkr}$
$E_r_ = -j{{{2ζ_0_}IDπ}/λ^2} \cosθ[(λ/{2πr})^3+j(λ/{2πr})^2]e^{-jkr}$
$H_φ_ = {{IDπ}/λ^2} \senθ[(λ/{2πr})^2+j(λ/{2πr})]e^{-jkr}$

Per una spira piccola (in termini di lunghezza d'onda, cioè $2πr ≪ λ$) alimentata con una corrente sinusoidale a frequenza $f$ uniformemente distribuita su di essa, la soluzione delle equazioni di Maxwell porta a:

$H_θ_ = j{{ISkπ}/λ^2} \senθ[-(λ/{2πr})^3-j(λ/{2πr})^2+(λ/{2πr})]e^{-jkr}$
$H_r_ = -j{{2ISkπ}/λ^2} \cosθ[(λ/{2πr})^3+j(λ/{2πr})^2]e^{-jkr}$
$E_φ_ = -{{{ζ_0_}ISkπ}/λ^2} \senθ[(λ/{2πr})^2+j(λ/{2πr})]e^{-jkr}$

Approssimando una sorgente di campo elettrico con un dipolo elettrico elementare (a sinistra) e una di campo magnetico con una spira (a destra), entrambi di dimensioni ridotte rispetto alla lunghezza d'onda, dalle equazioni di Maxwell si può ricavare l'andamento di campo elettrico e magnetico e quindi dell'impedenza come illustrato nel grafico seguente:

a partire da:

$ζ_w_ = {E_t_}/{H_t_} = kζ_0_$

Per k possiamo distinguere i casi:

  • $k ≃ λ/{2πr}$ per una sorgente ad alta impedenza e r ≤ λ/2π;
  • $k ≃ {2πr}/λ$ per una sorgente a bassa impedenza e r ≤ λ/2π;
  • $k ≃ 1$ per qualsiasi tipo di sorgente e r ≥ λ/2π.

Determinazione di ζ2 e AdB

La profondità di penetrazione in un conduttore (distanza nella quale la densità di corrente diminuisce di e volte rispetto alla densità di corrente superficiale):

$δ = c/{ω√{{{ε_r_}/2}{({√{1 + (σ/{ω {ε_0_} {ε_r_}})^2}} - 1)}}}$

nel caso di buoni conduttori ($σ ≫ {ω {ε_0_} {ε_r_}}$) si semplifica:

$δ ≃ 1/√{πfσμ}$

ove:

  • f: frequenza dell'onda;
  • σ: conducibilità del materiale;
  • μ: permeabilità magnetica.

Contributo all'efficacia schermante dovuto all'assorbimento nel metallo:

$A_{dB}_ = 20log{_10_}e^(t/δ) = 20{t/δ}log{_10_}e ≃ 8.686 t √{πfσμ}$

Impedenza di barriera ζ2 di uno schermo piano, in funzione del suo spessore t e delle caratteristiche elettromagnetiche del materiale che lo costituisce:

$ζ_2_ ≃ 1/{(1 - e^{-t/δ})}√{{ωμ}/σ}$

Degradazione dell'efficacia schermante dovuta alle riflessioni multiple

I contributi dovuti alle riflessioni multiple hanno subito – rispetto al contributo principale – almeno altri due attraversamenti dello schermo, con conseguenti attenuazioni dovute all'assorbimento nello stesso. Si può dimostrare che risulta:

$B_{dB}_ = 20log{_10_}|1 - ({ζ_1_-ζ_2_}/{ζ_1_+ζ_2_})^2 e^{-(1+j){2t}/δ}|$

Classificazione magnetica dei materiali

In base al valore della permeabilità magnetica relativa, i materiali vengono classificati in:

  • materiali paramagnetici, se μr ≳ 1 (es.: aria, alluminio, tungsteno);
  • materiali diamagnetici, se μr < 1 (es.: oro, rame);
  • materiali ferromagnetici, se μr ≫ 1 (es.: ferro, nichel, cobalto).

In quest'ultimo caso si ipotizza che μr segua la funzione di rilassamento di Cole-Cole:

$μ^{*} = μ_∞_ + {μ_0_ - μ_∞_}/{1 + (iωτ)^{1 - α}}$

ove:

  • f1/2: il valore di frequenza per cui la permeabilità assume valore intermedio tra quelli a bassa ed alta frequenza (posto μ=1);
  • α: il parametro che specifica quanto velocemente avviene il rilassamento.

Nel grafico seguente si riporta l'andamento della parte reale della permeabilità per diversi valori di α, con f1/2 = 100 kHz e μr = 11000.

Documentazione interna

È possibile accedere al documento Riduzione e contenimento dell'esposizione, calcoli previsionali e schermature presente su questo portale.

Riferimenti bibliografici

  1. J.D.Kraus: Electromagnetics, McGraw-Hill International Student Edition, Singapore 1984.
  2. CEI (Comitato Elettrotecnico Italiano): Guida ai metodi di calcolo dei campi elettrici emagnetici generati da linee elettriche, Norma CEI 211-4, Milano, 1996.
  3. D.Andreuccetti: Manuale del programma CAMPI per il calcolo del campo elettrico e dell'induzione magnetica generati da linee elettriche versione 4.1, CNR - Istituto di Fisica Applicata Nello Carrara, Firenze, maggio 2002.
  4. AA.VV.: La schermatura dei campi elettrici, magnetici ed elettromagnetici: principi generali, aspetti teorici e applicazioni pratiche, Franco Angeli Editore Milano 2006, a curadi Paolo Bevitori.
  5. White D.R.J.: A handbook on electromagnetic shielding materials and performance, Don White Consultants Inc., Germantown (USA) 1975.
  6. White D.R.J.: Shielding design. Methodology and procedures, Interference Control Technologies, Gainesville (USA) 2006.
Modalità di calcolo della schermatura

Struttura dell'applicazione

La presente applicazione è strutturata in 4 schede:

  • Presentazione
  • Inserimento dati (in cui impostare i parametri per il calcolo)
  • Risultati (in cui verranno visualizzati i risultati)
  • Istruzioni (la presente scheda)

Poiché l'efficacia schermante per uno schermo (nell'approssimazione piana e a spessore costante) viene determinata in funzione di quattro parametri:

  • spessore
  • distanza dello schermo dalla sorgente
  • frequenza
  • materiale

l'utente ha a disposizione 7 scelte per determinare come eseguire il calcolo:

  • prima opzione: specificare tutti i parametri, e ricavare un risultato numerico per ciascuna tipologia di sorgente (di campo elettrico o magnetico);
  • successive 6 opzioni: specificare 2 parametri, e visualizzare per ciascuna tipologia di sorgente un grafico che rappresenta l'andamento della schermatura in funzione delle 2 grandezze rimanenti (di cui una varia con continuità, l'altra assume fino ad un massimo di 5 valori).

A seconda della scelta dell'utente viene generata dinamicamente la parte di interfaccia relativa alla definizione dei parametri per il calcolo. Per quanto riguarda frequenza, distanza dalla sorgente e spessore dello schermo, deve definire un valore o un intervallo, con le relative unità di misura.

Selezionando uno o più materiali, compare una tabella riepilogativa con le proprietà rilevanti dal punto di vista del calcolo.

L'utente può scegliere tra un elenco di materiali da una libreria in archivio, o inserire un materiale personalizzato (purché conduttore, altrimenti non valgono più le ipotesi sulla profondità di penetrazione), di cui siano note conducibilità elettrica e permeabilità relativa. Se la permeabilità dipende dalla frequenza, va inserito il valore a bassa frequenza (μ0) e, nell'ipotesi che segua la funzione di rilassamento di Cole-Cole, vanno specificati:

  • f1/2
  • α

Esecuzione del calcolo

Una volta inseriti i dati necessari ad eseguire il calcolo, questo viene avviato premendo il pulsante Calcola.

Se il calcolo viene eseguito per vari materiali in funzione della frequenza (seconda opzione), viene visualizzato anche l'andamento della permeabilità per i materiali ferromagnetici selezionati (se ve ne sono).